위상수학과 토플로지

제목부터가 뭔가 있어보인다면 기분탓이다. (아무것도 없다. 아마도.)

이 글을 읽는 사람들의 대부분은 위상수학은 뭔지 몰라도 토플로지는 뭔지 알 것이다. 네트워크 시간에 배웠으니깐. 네트워크 토플로지라면서 star, mesh, bus, ring, tree 이 다섯가지 토플로지를 알 것이다. 근데 그 외에 다른 형태의 연결 형태를 말하라고 하면 죄다 이 다섯의 조합으로 이루어진 것들을 표현하겠지만… 세상에는 그것들 뿐만 아니라는 걸 실감하게 된다. ㅠㅠ

그럴 때 필요한 게 처음보는 토플로지에 대한 내용과 함께 위상수학이 필요하게 된다고 본다. 토플로지에 대한 내용이야 해당 토플로지를 이해하는 데 필요한 것이니 그렇다 치고… 위상수학은 왜 필요하냐고 묻는다면 위상수학이 뭔지를 알면 금방 이해할 것이다.

위상수학은 공간 속의 점, 선, 면 및 위치 등에 관하여 양이나 크기와는 별개의 형상, 위치의 관계를 연구하는 수학을 말한다. 대충 보면 알겠지만, 기하학에서 한층 더 올라간 녀석이다. 선 자르고, 면 자르고, 공간에 구멍 갯수 변화한 것을 제외한 것들을 동일 선상에서 분석해서 최적화된 모양을 생각해보는 것이다. 이 내용대로라면 손잡이 달린 머그컵과 도넛은 같은 모양이라는 걸 보여줄 수 있다. (보통 어린이 과학 같은 곳에서 많이 본 듯한 이상한 내용이겠지만, 뫼비우스의 띠 설명하고 하면서 뭔가 비슷한 내용을 본 적이 있을지도..)

맨 왼쪽과 맨 오른쪽은 위상수학의 입장에서 보면 동일한 녀석이다. ㅡㅅㅡ 제대로 이해하려면 공간의 휘어짐이란 녀석에 대해 수학적으로 설명해야 되는데, 이걸 중등교육에서 가르칠 수 없어서 대부분 모른채로 넘어간다.

이런 게 왜 중요하냐고? 의외뢰 집합론으로 정의되는 내용도 많다. 위상수학은 열린집합의 성질과 연속함수의 성질부터 해서 호모토피나 호몰로지, (미분)다양체 성질 등을 다루고 하다보면 이게 그냥 도형을 다루는 게 아니라 집합 개념으로 넘어가고, 이게 이산집합으로도 넘어갑니다. 즉, 노드를 연결하는 방법 및 수준에 따라서도 본 적도 없는 토플로지가 생기기도 하죠.

뭐, 아주 제대로 볼 필요는 없지만, 알아서 나쁠 건 없는 수학입니다. ㅇㅅㅇ!

p.s. 이런 걸 왜 적냐고요? 내가 뭔가 복잡한 연결을 보다보니 머리아파져서요…ㅠㅠ